4.1 概率论里的基本概念

4.1.1 概率论研究什么问题

人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛。 --司马迁·《报任安书》

司马迁的这句话前半部分说了一个确定性问题，也就是人总会死。后半部分说了一个不确定性问题，也就是你可能死的有意义，或者没有意义。一个人的一生死的是否有意义呈现不确定性，但是对大量人群进行统计，会发现确定的规律性。就比如你投一次骰子，得到的点数不确定，但是你投无数多次，每个点数出现的次数就趋于相同。

这种在单次实验呈现不确定性，但是多次重复实验呈现的规律现象，被称为随机现象，概率论就是研究这种随机现象的一门学科。

4.1.2 为什么会有随机现象

对于为什么会有随机现象一直有两种看法。一种认为随机现象的出现，只是因为你掌握的知识不足引起的。比如古人就认为日食是一种随机现象，但是现代人掌握了天文学就可以精确预测日食的发生。还有投掷一次骰子得到的点数看起来是随机的，但是实际上它是确定的，如果你知道人投掷时的速度，角度，角速度，骰子的初始状态，质量，密度，落地的接触面等等细节物理量，完全是可以计算得到它最终的点数的。

还有一种看法认为世界上是存在真随机的，比如以现在的科学主流观点来看。放射性衰变就是一个真随机现象，它指的是某些原子核不稳定并会自发地转变为其他类型的原子核，同时释放出粒子或能量（例如阿尔法粒子、贝塔粒子或伽马射线）的过程。这一过程的时间和发生方式在个体水平上是完全随机的，原子核的衰变是由量子隧穿效应驱动的。这种隧穿行为是本质随机的，无法通过经典力学或任何确定性公式预测具体某个原子何时会衰变。

至于随机是否真实存在，这个一直是一个在争论的问题。

4.1.3 什么是概率

你可能觉得什么是概率是个很简单的问题，不就是某件事发生的可能性吗？但是在概率论的研究领域它分为三个学派，并且各自都有自己对概率的定义。

古典学派

古典学派认为如果我们因为没有足够信息确定哪一个结果更容易出现，那么它们出现的概率就相等。

比如我们无法确定投硬币那一面能容易出现，那么每一面出现的概率就为0.5。

一个袋子里有2个黑球，1个白球，我们随机拿出一个球为白球的概率是多少？根据我们掌握的信息，我们可以确定因为黑球多，所以黑球概率高。但是不论颜色，3个球哪个更容易被拿出来我们不知道。所以我们就认为3个球的概率是相等的。所以最终拿到白球的概率为三分之一。

频率学派

频率派通过对过往的经验进行归纳总结估计概率。

比如你扔100次硬币，其中47次为正面，那么用47除以100，得到出现正面的频率为0.47。

当你扔硬币的次数足够多，趋于无穷大，这时出现正面的频率就是概率。

贝叶斯学派

贝叶斯学派认为每个人对某一事件的发生，都有一个主观信念。随着实际情况不断更新这个主观信念。这个主观信念就是概率。

比如你刚认识一个人时，根据他的学历，长相，谈吐。会主观给他一个可信度。随着和他的不断交往，你会逐渐修正对他的可信度。

这几个学派并非水火不容，而是一起促进了概率论学科的发展。

4.1.4 集合、样本空间、事件

集合

集合，用来描述一组对象。它由若干明确的元素构成，可以是有限的，也可以是无限的。

集合常用大括号表示，比如:

A=\left \{1,2,3\right \}

表示集合A包含元素1，2，3。

样本空间

样本空间是概率论中描述所有可能结果的集合。其中每个元素表示实验中可能出现的一个基本结果。

通常用S表示。样本空间分为离散样本空间和连续样本空间。

离散样本空间：可能的结果是有限或者可数无穷多个。比如投掷一枚硬币的结果：

S=\left \{Head,Tail\right \}

连续样本空间：可能的结果是不可数或者无穷多个，比如测量随机变量的值：

S=[0,1]

表示所有0到1之间的实数。

事件

事件是样本空间的子集，表示实验中感兴趣的结果。事件A是样本空间S的一个子集，包含某些基本结果。它分为简单事件和复合事件。

简单事件只包含一个基本结果，比如用：

A=\left \{2\right \}

表示投掷骰子得到2。

复合事件包含多个基本结果，比如：

A=\left \{2,4,6\right \}

表示投掷骰子得到偶数。如果我们投掷一次骰子，得到了4，那么我们就说投掷骰子得到偶数的事件A发生了。

必然事件：包含样本空间所有结果的事件。即 $A=S$ 本身。

不可能事件：不包含任何可能得结果，即A为空。

4.1.5 概率论三大公理

概率论的三大公理是概率的基本定义，由俄国数学家柯尔莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）在1933年提出，构成了现代概率论的数学基础。它们基于集合论，用来严格定义概率的性质。这三大公理是：

公理1：非负性

对于任何一个事件A，它的概率P(A)总是非负的：

P(A)\ge0

概率不能为负值，任何事件的发生可能性至少为0。

公理2：规范性

也称作归一性，意思是样本空间S的概率总是等于1：

P(S)=1

样本空间包含所有可能的基本结果，因此一定发生的事件（必然事件）的概率为1。比如投掷一枚硬币，所有可能的结果是 $S=\left \{Head,Tail\right \}$ ，所以 $P(S)=P(Head)+P(Tail)=1$ 。

公理3：可列可加性

如果事件 $A_1,A_2,...$ 是两两互不相容的，那么它们的并集的概率等于各个事件概率的总和：

P\left ( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right ) =\sum_{i=1}^{n} P(A_i)

对于互不相容的事件，他们的概率可以直接相加。

这三条公理提供了一个严谨的数学框架，使得概率的计算和推导具有一致性。

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