3.4导数运算法则

如果函数 $u=u(x)$ 以及 $v=v(x)$ 都在x点处可导，则：

[u(x)\pm v(x)]' = u'(x)\pm v'(x)

我们可以根据导数的定义进行证明：

[u(x)\pm v(x)]' = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{[u(x+\triangle x)\pm v(x+\triangle x)]-[u(x)\pm v(x)]}{\triangle x}

= \lim_{\triangle x \to 0} \frac{u(x+\triangle x)-u(x)}{\triangle x}\pm\lim_{\triangle x \to 0} \frac{v(x+\triangle x)-v(x)}{\triangle x}

= u'(x)\pm v'(x)

###3.4.2函数积的求导法则如果函数

u=u(x)

以及

v=v(x)

都在x点处可导，则：

[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

同样可以利用导数的定义进行证明：

[u(x)v(x)]' = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{u(x+\triangle x) v(x+\triangle x) -u(x)v(x)}{\triangle x}

= \lim_{\triangle x \to 0} \frac{u(x+\triangle x) v(x+\triangle x) -u(x)v(x+\triangle x)+u(x)v(x+\triangle x)-u(x)v(x)}{\triangle x}

= \lim_{\triangle x \to 0} \frac{[u(x+\triangle x) -u(x)]v(x+\triangle x) + u(x)[v(x+\triangle x)-v(x)]}{\triangle x}

= \lim_{\triangle x \to 0} \frac{[u(x+\triangle x) -u(x)]}{\triangle x}v(x+\triangle x)+ u(x)\lim_{\triangle x \to 0} \frac{v(x+\triangle x)-v(x)}{\triangle x}

= u'(x) \lim_{\triangle x \to 0} v(x+ \triangle x)+ u(x) v'(x)

= u'(x) v(x)+ u(x) v'(x)

根据函数积的求导法则，可以推出：

当 $f(x)=Cg(x)$ , 其中C为常数，则有：

f'(x) = C'g(x) + C g'(x) = Cg'(x)

如果函数 $u=u(x)$ 以及 $v=v(x)$ 都在x点处可导，以及 $v(x) \ne 0$ 则：

\left [\frac{u(x)}{v(x)} \right ]' = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{\frac{u(x)+\triangle x}{v(x)+\triangle x}-\frac{u(x)}{v(x)}}{\triangle x}

= \lim_{\triangle x \to 0} \frac{u(x+\triangle x) v(x) -u(x)v(x+\triangle x ) }{v(x+\triangle x )v(x)\triangle x }

= \lim_{\triangle x \to 0} \frac{[u(x+\triangle x) -u(x)] v(x) -u(x)[v(x+\triangle x )-v(x)] }{v(x+\triangle x )v(x)\triangle x }

= \lim_{\triangle x \to 0} \frac{\frac{u(x+\triangle x) -u(x)}{\triangle x} v(x) -u(x)\frac{v(x+\triangle x )-v(x)}{\triangle x} }{v(x+\triangle x )v(x)}

= \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}

如果 $u=g(x)$ 在x点可导，而 $y=f(u)$ 在 $u=g(x)$ 点可导，那么 $y=f(g(x))$ 在x点可导，并且导数为：

f'(x) = f'(u)g'(x)

首先举个例子帮助你理解。

假如你可以用人民币换美元，可以用美元换比特币。假设在某个时间点，人民币换美元的汇率为0.12，美元对比特币的汇率为0.0001，则人民币对比特币的汇率就可以用0.12乘以0.0001来计算。

下边进行证明。

\lim_{\triangle u \to 0}\frac{\triangle y}{\triangle u}=f'(u)

\Rightarrow \frac{\triangle y}{\triangle u} = f'(u) + \alpha (\triangle u)

$\alpha (\triangle u)$ 是当 $\triangle u \longrightarrow 0$ 时的无穷小。上式两边同时乘以 $\triangle u$

\Rightarrow \triangle y = f'(u) \triangle u + \alpha (\triangle u) \triangle u

等式两边同时除以 $\triangle x$ ,可以推导出：

\Rightarrow \frac{\triangle y}{\triangle x} = f'(u) \frac{\triangle u}{\triangle x} + \alpha (\triangle u) \frac{\triangle u}{\triangle x}

然后两边取极限：

\Rightarrow \lim_{\triangle x \to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x} = \lim_{\triangle x \to 0} \left [f'(u) \frac{\triangle u}{\triangle x} + \alpha (\triangle u) \frac{\triangle u}{\triangle x}\right ]

根据可导函数必连续，可以得知当 $\triangle x \longrightarrow 0$ 时， $\triangle u \longrightarrow 0$ 。从而可以得到：

\lim_{\triangle x \to 0} \alpha (\triangle u) = \lim_{\triangle u \to 0} \alpha (\triangle u)=0

又因为：

\lim_{\triangle x \to 0} \frac{\triangle u}{\triangle x}=g'(x)

所以：

\lim_{\triangle x \to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x}=f'(u) \lim_{\triangle x \to 0} \frac{\triangle u}{\triangle x}

\Rightarrow f'(x) = f'(u)g'(x)

我们尝试用上边的导数运算法则对下边这个函数求导：

$f(x)=(e^x \sin x+3x)^2$

这是一个复合函数求导，我们定义：

$u=g(x)=e^x \sin x+3x$

则 $f(u)=u^2$

$f'(x)=f'(u)g'(x)$

$f'(x)=2u \cdot g'(x)$

代入 $u=g(x)=e^x \sin x+3x$

$f'(x)=2(e^x \sin x+3x) \cdot g'(x)$

接下来需要求 $g'(x)$

应用求导的四则运算规则有：

则 $g'(x)=e^x \sin x + e^x \cos x +3$

代入 $f'(x)$ 的表达式中，得到最终答案：

$f'(x)=2(e^x \sin x+3x) \cdot (e^x \sin x + e^x \cos x +3)$

导数运算法则