3.7 全微分

一句话概括微分研究的是如何以直代曲。将复杂的问题简单化，将非线性问题线性化。

3.7.1 一元函数微分

在一元函数微分里，我们学到一元函数在某处可微，指的是因变量的增量$\triangle y$ 可以表示为一个常数$A$与自变量在该点的增量$\triangle x$的乘积与一个$\triangle x$的高阶无穷小的和。

也可以写作：

其中的$A$就是$f'(x_0)$

其几何意义就是用某点处的切线代替某点处的曲线。

3.7.2 多元函数微分

对于多元函数而言，以二元函数$z=f(x,y)$为例，在点$(x_0,y_0)$处的微分叫做全微分，思想也是以直代曲，用该点处的切平面代替该点附近的曲面。

全微分可以用下边的式子表示：

可以看到因变量z的变化部分$\triangle z$和x的变化部分$\triangle x$以及y的变化部分$\triangle y$都是线性关系。$\sqrt {(\triangle x)^2+(\triangle y)^2}$表示移动的点与$(x_0,y_0)$之间的距离。当这个距离接近0时，上式成立。

也可以写作：

函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0,z_0)$处全微分也可以用下边的式子表示：

经过变换为：

这个式子就是经过点$(x_0,y_0,z_0)$且与向量[-A,-B,1]垂直的平面方程。也就是说，[-A,-B,1]为平面的法向量。为什么呢？

平面上的任何一个点坐标减去$(x_0,y_0,z_0)$构成的向量与[-A,-B,1]的点乘为0，则证明在以$(x_0,y_0,z_0)$为原点的坐标空间里，两个向量夹角的cos值为0，则证明平面上的任何一根线都与向量[-A,-B,1]夹角为90°，即垂直。[-A,-B,1]为平面的法向量。

下边我们就来求一下A和B的值具体为多少。

两条直线就可以确定一个平面，之前我们在求偏导数时，实际上已经找到两个切线，他们分别是经过$(x_0,y_0,z_0)$点，与x轴平行的切线，和与y轴平行的切线。

这两个切线就可以决定这个切平面。我们现在要求的是这个切平面的法线。同时垂直于这两个切线的线就是切平面的法线。怎么找到同时垂直也这两个切线的向量表示呢？之前我们学过向量的叉积。两个向量的叉积就可以产生一个同时垂直于两个向量的新向量。叉乘的计算公式为：

$f_x(x_0,y_0)$决定的z相对于x的切线向量为$[1,0,f_x(x_0,y_0)]$，假设以$(x_0,y_0,z_0)$为新坐标系原点，因为y始终等于$y_0$，所以y坐标为0。因为我们只在意切线方向，任意模长均可。设x分量为1，则z分量为z对于x的偏导数$f_x(x_0,y_0)$。

$f_y(x_0,y_0)$决定的z相对于y的切线向量为$[0,1,f_y(x_0,y_0)]$。

根据叉乘公式，可以求得法向量为$[-f_x(x_0,y_0),-f_y(x_0,y_0,1)]$。

再看全微分表达式：

$(z-z_0)-A(x-x_0)-B(y-y_0)=0$

根据法向量的计算结果可知A的值就为$f_x(x_0,y_0)$,也就是z在$(x_0,y_0)$点对x求偏导。B的值就为$f_y(x_0,y_0)$,也就是z在$(x_0,y_0)$点对y求偏导。

所以：