3.6 偏导数

之前我们讲过一元函数的导数，函数在自变量某一点 $x_0$ 的导数，表示当自变量的变化量 $\triangle x \to 0$ 时，因变量关于自变量的变化率。

f'(x_0)=\lim_{\triangle x \to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x}=\lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}

对于多元函数，比如：

z=f(x,y)

我们想要求函数在点 $(x_0,y_0)$ 处的导数时，情况就变得复杂。因为对于一元函数而言，自变量只有一个，但是对多元函数，自变量有两个。为了简化我们的研究，每次可以只让自变量里的一个变量变化，而其他变量保持不变，这时对多元函数的求导，就转化为对一元函数的求导了，我们把这种导数，叫做偏导数。

比如对于上边自变量包含x和y的多元函数，在点 $(x_0,y_0)$ 处，固定 $y=y_0$ ，对x求偏导：

f_x(x_0,y_0)=\lim_{\triangle x \to 0} \frac{\triangle z_x}{\triangle x}=\lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_0+\triangle x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\triangle x}

在点 $(x_0,y_0)$ 处，固定 $x=x_0$ ，对y求偏导：

f_y(x_0,y_0)=\lim_{\triangle y \to 0} \frac{\triangle z_y}{\triangle y}=\lim_{\triangle y \to 0} \frac{f(x_0,y_0+\triangle y)-f(x_0,y_0)}{\triangle y}

偏导数也可以用另一种形式表示，比如z对x求偏导，可以表示为：

\frac{\partial z}{\partial x}

根据上图可以看出，多元函数的偏导数也和一元函数的导数一样，都是表示切线斜率。

对于偏导数 $f_x(x_0,y_0)$ 表示的是平面 $y=y_0$ 与曲面 $z=f(x,y)$ 的交线在 $x=x_0$ 处，z对于x的变化率。

对于偏导数 $f_y(x_0,y_0)$ 表示的是平面 $x=x_0$ 与曲面 $z=f(x,y)$ 的交线在 $y=y_0$ 处，z对于y的变化率。

偏导数