3.3 常用求导公式

我们首先根据导函数的定义来推出 $f(x)=x^2$ 的导函数。

f'(x)=\lim_{\triangle x \to 0}\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}=\lim_{\triangle x \to 0}\frac{(x+\triangle x)^2-x^2}{\triangle x}

=\lim_{\triangle x \to 0}\frac{x^2+2x\triangle x+{\triangle x}^2-x^2}{\triangle x}

=\lim_{\triangle x \to 0}\frac{2x\triangle x+{\triangle x}^2}{\triangle x}

=2x+\lim_{\triangle x \to 0}{\triangle x}

=2x

接下来我们推导一下 $f(x)=x^n$ 的导函数。

二项式定理

(a + b)^n = \sum_{k=0}^n C_{n}^{k}a^{n-k} b^k

首先复习一下二项式定理，n个（a+b）相乘，实际展开式中的每一项都是n个数的乘积。n个数里要么是a，要么是b。n个数里有k个a，n-k个b的概率就为 $C_{n}^{k}$

接下来我们进行幂函数的导函数推导：

f'(x)=\lim_{\triangle x \to 0}\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}=\lim_{\triangle x \to 0}\frac{(x+\triangle x)^n-x^n}{\triangle x}

对于 ${(x+\triangle x)}^n$ 部分利用二项式定理展开：

{(x+\triangle x)}^n=x^n + nx^{n-1}\triangle x+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}{\triangle x}^2+\cdot\cdot\cdot+{\triangle x}^n

将展开式带入幂函数求导极限式中有：

f'(x)=\lim_{\triangle x \to 0}\frac{nx^{n-1}\triangle x+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}{\triangle x}^2+\cdot\cdot\cdot+{\triangle x}^n}{\triangle x}

f'(x)=\lim_{\triangle x \to 0}{nx^{n-1}+(n-1)x^{n-2}{\triangle x}+\cdot\cdot\cdot+{\triangle x}^{n-1}}

f'(x)=nx^{n-1}

所以最终得到 $f(x)=x^n$ 的导函数为 $nx^{n-1}$

毕竟我们这个不是高数课，就不一一推导每种常见函数的导函数了。这里给出公式，都是必须记住的。

常数求导

如果 $f(x)=C$ ，C为常数，则： $f'(x)=0$ 。导数描述的是因变量针对自变量而言在某一点的变化率，函数值为常数，变化率一直为0。

幂函数求导

如果 $f(x)=x^n$ ，其中n为实数，则 $f'(x)=nx^{n-1}$

指数函数求导

如果 $f(x)=a^x$ ,其中 $(a>0;a\ne1)$ , 则 $f'(x)=a^x \ln a$

特别的如果 $f(x)=e^x$ ,则 $f'(x)=e^x$ (导函数和原函数相同）

对数函数求导

如果 $f(x)=\log_{a}{x}$ ,其中 $(a>0;a\ne1)$ ,则 $f'(x)=\frac{1}{x \ln a}$

特别的，如果 $f(x) = \ln x$ ,则 $f'(x) = \frac{1}{x}$

三角函数求导

如果 $f(x)=\sin x$ ，则 $f'(x)=\cos x$

如果 $f(x)=\cos x$ ，则 $f'(x)=-\sin x$

常用求导公式