上一篇文章我们从行列式的3个基本性质推出了行列式的7个其他性质。我们再来看一下如何利用3个基本性质推出行列式公式。我们再来回忆一下行列式的3个基本性质。

性质1

单位矩阵的行列式为1. 行列式我们用det来表示。det I = 1

性质2

交换矩阵的两行,行列式是变换前的-1倍。改变了正负号。通过性质1和性质2,我们知道一个单位矩阵,交换前两行,则值为-1。所以所有置换矩阵的值只有两种选择,1或者-1.

性质3

\begin{vmatrix}a+e & b+f \\ c & d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}e & f \\ c & d\end{vmatrix}

2×2矩阵行列式

利用这几个性质,我们看一下如何求一个矩阵的行列式:
\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a & 0 \\ c & d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0 & b \\ c & d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a & 0 \\ c & 0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a & 0 \\ 0 & d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0 & b \\ c & 0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0 & b \\ 0 & d\end{vmatrix}=ad\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix}-bc\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix}=ad-bc

nxn矩阵的行列式

通过2×2矩阵的行列式的计算,我们发现下边的两个性质:
1.每一个矩阵的行列式都可以被转化为一系列矩阵行列式的和,其中每一个不等于零的行列式都是矩阵里的元素在行和列上只有这么一个元素。比如对于2×2矩阵行列式,就等于下边两个矩阵的行列式之和
\begin{vmatrix}a & 0 \\ 0 & d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0 & b \\ c & 0\end{vmatrix}
所以这就成了一个排列组合的问题。第一行有效元素有n个位置可以选择,第二行就只剩下n-1个位置。依次类推,所以nxn矩阵的行列式就转化为n的阶乘个有效的简单矩阵的行列式的和。对于n为2,就有2个子项相加。对于n为3,就有6个子项。
2.每一个子项的符号由它们对行对调的次数决定,奇数次就是负号,欧数次就是正号。

对于3X3的矩阵我们可以试想一下它的行列式:
\begin{vmatrix}a_{11} &a_{12}  &a_{13} \\ a_{21}&a_{22}  &a_{23} \\  a_{31}&a_{32}  &a_{33} \end{vmatrix}
=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{32}a_{21}-a_{33}a_{21}a_{12}-a_{23}a_{32}a_{11}-a_{13}a_{22}a_{31}

对以上构成矩阵A的代数余子式的各项,我们按矩阵第一行元素提取公因数:
a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{33}a_{21}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})

代数余子式

余子式

在矩阵A里,对于 a_{11} 来说a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}就是它的余子式。而其余子式也是矩阵A除去a_{11}所在的行和列,剩下元素构成矩阵的行列式。

代数余子式就是在余子式前边加上正号或者负号。

我们发现一个矩阵的行列式等于某一行元素,各个元素与其代数余子式的点乘。每个代数余子式的正负号与当前元素下标i,j有如下关系{(-1)}^{i+j} 通过代数余子式,我们可以把对n阶矩阵的行列式求解转化为n-1阶。

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