正交矩阵的好处

正交矩阵确切的说应该是标准正交矩阵。
它有着如下的性质。对于标准正交矩阵Q里的两个列向量q_i,q_j
1. 如果i=j,则q_i^{T}q_j=1
2. 如果i不等于j,则q_i^{T}q_j=0
举个例子:
\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}

那么Q^{T}Q=I
这是一个非常好的性质,想想我们上一篇文章里说的投影矩阵,还有对于无解方程组Ax=b的最优解x的方程式:
A^{T}Ax=A^{T}b
如果A是是一个正交矩阵的话,那么上边的式子就变成:
x=A^{T}b
这样计算就大大简化了。

Gram-Schmidt正交化

对于一个矩阵,假如我们把它理解成列空间,我们如何得到这个列空间里的一个单位正交矩阵呢?
我们可以取出列空间里第一个向量a,让它不变,它就是正交矩阵的第一个正交向量A,然后取出第二个向量b,求出b在a上的投影pa,b-pa就是第二个正交向量B。取出第三个向量c,求出c在a,b组成平面上的投影pab,则第三个正交向量就是c-pab,也等于c-pA-pB。注意这里是B,不是b。
这样就得到一个单位正交矩阵。单位正交矩阵Q和A表示同样的列空间。但是Q却方便矩阵运算。

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