矩阵的行列式英语是determinant。determinant的意思是决定因素。可见行列式还是非常重要的。
行列式既没有行,也没有列,也不是一个式子。它是通过对矩阵的运算得到的一个数字。这个数字可以描述这个矩阵的一些性质。一个数据就可以表明一个矩阵的性质,着实不容易。所以对得起determinant这个名字。

这篇文章我们就看看行列式有哪些性质。我们这里讲10个性质,前三个性质是基础,后边七个可以根据前边三个性质推出。

性质1

单位矩阵的行列式为1. 行列式我们用det来表示。det I = 1

性质2

交换矩阵的两行,行列式是变换前的-1倍。改变了正负号。通过性质1和性质2,我们知道一个单位矩阵,交换前两行,则值为-1。所以所有置换矩阵的值只有两种选择,1或者-1.

性质3

我们用双竖线表示对一个矩阵求行列式

性质3A

\begin{vmatrix}a+e & b+f \\ c & d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}e & f \\ c & d\end{vmatrix}

性质3B

其实有性质3A可以得到性质3B。我们这里也列出来。
给矩阵A的其中一行乘以t,得到一个新的矩阵B 则B的行列式是t被的A的行列式。
t\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}ta & tb \\ c & d\end{vmatrix}

好了前边3个性质我们可以认为是公理。我们先不去定义和证明。根据上边的性质,我们就可以得到下边7个优秀的品质。

性质4

如果矩阵里两行元素相等,那么这个矩阵的行列式为0。这个可以通过性质2证明,因为我们互换这相同的两行,矩阵没变,但是行列式符合变了,那么行列式的值只能为0。

性质5

对矩阵的一行减去n倍的另一行,生成的矩阵和原矩阵的行列式一样。
证明如下:
\begin{vmatrix}a & b \\ c-na & d-nb\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a & b \\ na & nb\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}-n\begin{vmatrix}a & b \\ a & b\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}-n0=\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}

性质6

如果矩阵有一行全零,那么这个矩阵的行列式为0。
这个可以根据性质3来证明,也就是给其中一行乘以0,所以行列式为0

性质7

根据性质5,我们可以把一个矩阵转化为一个上三角矩阵,这个上三交矩阵的行列式等于对角线上元素的乘积。
证明是既然已经是上三角矩阵了,我们也可以继续利用性质5,把除去对角线上的元素全部转化为0。这样就值剩下了对角线上的元素了。然后我们把每一行的元素都提出到矩阵外边,相应行上就剩1了。最后矩阵就变成一个单位矩阵了。矩阵外边就是对角线元素的乘积了。

性质8

如果detA=0,那么A是一个奇异矩阵。因为如果A是奇异矩阵,肯定可以通过行化简,产生一个全零行,那么detA=0.

性质9

det(AB) = (detA)(detB)
如果B是A的逆矩阵,那么det(B)也是det(A)的倒数。

性质10

det(A的转置)=det(A)
我们之前说的都是对行进行变换,有了这个性质,我们也可以对列空间应用了。

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