对于一个矩阵,有四个重要的子空间。我们一个一个来看:
对于一个m乘n的矩阵A,比如3×4的矩阵:
\begin{bmatrix}1 & 2 &3  & 1\\ 1 & 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 1\end{bmatrix}

列空间

对于上边的例子,每个列向量是有m个数,也就是3个构成的。但不能说列空间就是3维的。这一点很重要。因为列空间也可能只是列空间里的一个直线,或者一个平面。那么列空间就是1维或者2维的。而这个列空间的维数,我们知道就是这个矩阵的秩,也等于行空间的秩,这里是2.列空间在m维空间内,具体为r。

零空间

对于矩阵A,如果有一个向量x,使得Ax=0,那么由所有x构成的空间就是零空间。零空间在n维空间内。具体的维数为n-r维

行空间

行空间在n为空间内,具体维数为r。行空间可以看成是矩阵转置的列空间。

左零空间

左零空间也就是行空间的零空间。也就是矩阵转置的零空间。那么它在m维空间内,具体维数为m-r维。

通过上边的描述可以发现,列空间和左零空间都在m维空间内,并且列空间实际维数为秩r。而左零空间的维数为m-r,两个相加刚好为m。同样行空间和零空间在n维空间内,各自维度之和为n。

正交子空间

正交子空间是两个子空间内的各自任取一个向量。这两个向量垂直。按照这个定义,对于一个房间,墙所在的二维空间,和地板所在的二维空间并不垂直。因为墙和地板相交的那个向量同时在两个空间,它并不和自己垂直。那么怎么找一个正交子空间的例子呢?
比如旗杆和地面,旗杆是一个1维向量,地面是一个2维平面,它们同处于一个3维空间里。而且这两个子空间里各自任取一个向量都是互相垂直的。

我们发现对一个矩阵的4个子空间里有两组正交子空间,它们就是行空间和零空间。列空间和左零空间。以行空间和零空间为例。
对于上边的矩阵,行空间是一个在4为空间里的2维空间。它的一个基为(1,2,3,1),(1,1,2,1)。零空间也是一个4维空间里2维空间,它的一个基为(-1,-1,1,0),(-1,0,0,1)。因为行空间和零空间都是有它们各自的基线性组合出来的。而它们的基里的向量两两彼此垂直,所以行空间和零空间是垂直的,而且它们的维数之和2+2,刚好等于4.

列空间是一个在3维空间里的2维空间,它的一个基是(1,1,1),(2,1,2),它的左零空间是一个3维空间里的1维空间,它的一个基为(1,0,-1)。它们两个空间的维度之和为2+1,刚好等于3。

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