线性相关性

我们说一组向量是否线性相关,实际上是在寻求其中任一个向量是否可以由其他向量线性组合来表示。用公式来表示:
c_1 v_1+c_2 v_2+...+c_n v_n=0
如果存在一个非全零的c_1,c_2...c_n让等式成立。那么v_1,v_2...v_n是线性相关的,否则是线性无关的。

基是一组向量构成的。
基是对于一个空间而言的。
可以理解基就是构成一个空间个数最少的一组向量。比如构成二维空间(0,1)(1,0)就是一个基。(0,1)(3,2)也是一个基。但是(0,1)(1,0)(1,1)就不是。同样(0,1)(0,2)就不是。
所以说一个空间的基具有下边两个性质:
1. 基里的向量线性无关。
2. 基里的向量通过线性组合可以构成整个空间。

空间的维数

上边我们发现对于一个空间,可以由多个基构成。但是每个基里边的向量个数都是一样的。生成一个空间的基里边的向量个数就是这个空间的维数。
任意个线性不相关的向量都可以构成一个空间。并且它们是这个空间的基。空间的维数和向量的维数不一定相等。比如
(1,0,2,1)(0,2,0,1)也可以构成一个二维空间,虽然两个向量的维度都是4维的。

那么我们如何求得一个空间的维数,以及获得空间的一个基呢?下一篇文章我们再讲。

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