首先我们看一下这样的一个方程组:
x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+2x_{4}=1
2x_{1}+4x_{2}+6x_{3}+8x_{4}=5
3x_{1}+6x_{2}+8x_{3}+10x_{4}=6
将它用矩阵可以简洁的表达如下:
\begin{bmatrix}1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 10\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ 5\\ 6\end{bmatrix}

那么这个方程组有解吗?解是一个什么结构呢?

从 Ax=0 开始

我们首先从一个特殊的情况开始,就是方程组的右边都是0的情况。
\begin{bmatrix}1 & 2 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 10\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}

我们对左边的矩阵A进行初等行变换,因为方程式右边为0,所以无论怎样的初等行变换都还是0. 所以我们可以只考虑对A的变换。

最终得到的最简形式如下:
\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}

我们发现最后一行全是零,说明第三行是第一行和第二行的一个线性组合,在行变化过程中被消除了。

主变量列和自由变量列

\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}
上边这个矩阵的1,3列为主变量列,2,4列为自由变量列。

对于矩阵A来说,主变量列数等于化简后矩阵非零的行数。这里为2。我们把它叫做矩阵的秩。用r表示。矩阵的行数用m表示,列数用n表示。 对于自由列变量个数等于n-r个。对于下边这个矩阵来说就有r=2,m=3,n=4.自由变量列个数为2个。

为了帮助理解自由变量列的概念,你可以这么想,对于在二维平面里只有两个非线性相关的直线方程才能确定唯一的一个点(x,y),如果只有一个直线方程,或者两个直线方程线性相关,经过化简后也成为一个直线方程,比如x=2y。这时候x,y任一个都可以是自由变量列,另一个是主变量列。比如我们取x为自由变量列,y为主变量列,这时x可以自由取值,y都可以根据x=2y找到对应的值。 但是如果是两个方程呢?
x=2y
y=1
这时x,y都是主变量列了,没有自由变量列了。因为他们都不能随意取值了,只有(2,1)是方程组的解。

对于Ax=0的情况,我们可以通过在自由变量上依次把一个自由变量设置为1,其余为0,从而求得n-r个特殊的解。比如对于上边的例子,x2,x4是自由变量,我们可以让x2=1,x4=0,带入化简后矩阵求解。得到一个特解(-2,1,0,0),然后让x2=0,x4=1,得到一个特解为(2,0,-2,1)。这两个特解的线性组合,得到空间里的一个平面,它是我们的解空间,里边的每一个点都是我们的对于Ax=0的解。

Ax=b 的情况

Ax=b的情况我们可以先求解Ax=0,然后求一个Ax=b的特解。Ax=0求得的解空间再加上Ax=b的那个特解,就构成了Ax=b的解空间。相当于在高纬空间里把Ax=0的解空间,按Ax=b的特解在各个维度的值上进行了平移。

总结

可见主变量列的个数,也就是秩对于Ax=b解的个数影响很关键:
如果r=m=n,满秩方阵,只有一个解。
如果r=m<n,解空间的维数为n-r个。
如果r=n<m,则要么没有解,要么只有一个。

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