矩阵的行初等变换

  1. 任意交换矩阵的两行。
  2. 矩阵的某一行乘以一个非零的整数。
  3. 矩阵的某一行加上N乘以矩阵的另外一行。N不等于0,可正可负。
  4. 经过矩阵的行初等变换得到的矩阵相当于在原始矩阵左边乘以一个变换矩阵。

增广矩阵

增广矩阵是在原有矩阵A的右边附件一个矩阵B,记做[A|B],这样我们在对A进行上边说的行初等变换的时候,同时也对B进行同样的行初等变换。
比如A=\begin{bmatrix}1 & 2\\ 3 & 2\end{bmatrix} B=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}
则对于A的增广矩阵是\begin{bmatrix}1 & 2&1 & 0\\ 3 & 2&0 & 1\end{bmatrix}

对A的增广矩阵进行初等行变换

我们进行以下四步:
1. 第一行减去第二行,得到:\begin{bmatrix}-2 & 0&1 & -1\\ 3& 2&0 & 1\end{bmatrix}
2. 第一行乘以-\frac{1}{2}得到:\begin{bmatrix}1 & 0&-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ 3& 2&0 & 1\end{bmatrix}
3. 第二行减去3倍的第一行,得到:\begin{bmatrix}1 & 0&-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ 0& 2&\frac{3}{2} &-\frac{1}{2}\end{bmatrix}
4. 第二行乘以\frac{1}{2},得到:\begin{bmatrix}1 & 0&-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ 0& 1&\frac{3}{4} &-\frac{1}{4}\end{bmatrix}

然后我们把增广矩阵拆分为两个矩阵:\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0& 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{3}{4} &-\frac{1}{4}\end{bmatrix}
则后边的矩阵\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{3}{4} &-\frac{1}{4}\end{bmatrix}就是矩阵A\begin{bmatrix}1 & 2\\ 3 & 2\end{bmatrix}的逆矩阵。因为我们进行初等行变换相当于对矩阵A和矩阵B同时在左边乘以一个变换矩阵。A变成了单位矩阵I,说明我们给A乘的变换矩阵就是A的逆矩阵。那么因为我们给A增加了单位矩阵B,单位矩阵在变化过程中其实也乘了A的逆矩阵。因为B为单位矩阵,所以增广矩阵的右半部分就是A的逆矩阵本人。

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