首先我们看一个线性方程组:
2x-y=0
-x+2y=3
它的解为x=1,y=2

我们可以用矩阵乘法来表示:

\begin{bmatrix}2& -1\\-1& 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}
它的另一种表示形式:
x\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}
这一种表示形式把线性方程组的每一个列抽取为一个独立的向量。
带入x=1,y=2则有:
1\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}
上边的表达式是向量之间的运算。向量前边的系数,1和2 表明对向量进行线性组合(linear combination)
重要的是向量可以映射到几何空间里

通过上边3幅图可以看到向量之间的线性组合,最终生成了结果向量。
所以我们可以这样理解线性方程组的求解:一组列向量,他们如何线性组合,可以生成目标向量。
如果我们任意的变换x和y的取值,也就是变换不同的线性组合,生成的目标向量的解空间是不是能占满整个空间呢?如果目标向量是2维的,它可以占满一个平面吗?如果是3维的,它可以占满整个立体空间吗?
答案是不一定,大部分情况是可以的。除非我们用来进行线性组合的向量里有两个在同一低维空间里。
怎么理解这个同一低维空间呢?
假如说我们求解的是2维目标向量,但是我们用来组合的两个向量在同一条线上(一维空间)。
假如说我们求解的是3维目标向量,但是我们用来组合的两个向量在同一平面上(二维空间)。
比如上边我们求解的方程:
2x-y
-x+2y
在x,y取不同值得时候,求得的目标向量是可以铺满整个二维平面的。这是因为
\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}不在同一个低维空间,也就是不在同一条直线上。
但是如果方程组是下边这种形式:
2x+4y
-x-2y
不论x,y取什么值,最终生成的目标向量都在同一条直线上(y=-0.5x),这是因为\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\-2\end{bmatrix}在同一条直线上。

上边的理解和结论可以推广到高维空间里。

一组向量的线性组合,也就是每个向量与一个对应标量系数的乘积然后求和。所有可能的线性组合后生成的向量从原点出发到达的点的空间构成了这一组向量的生成子空间。也叫做A的列空间或者A的值域。

确定Ax=b是否有解,就是确定b是否在A的列向量生成的子空间里。

如果我们想让 Ax=b 对于任意向量b\in R^{m}都存在解。这要求A至少有m列,但是上边的例子也表明这只是必要条件。并不是一个充分条件。如果一个列向量组里的存在至少一个列向量可以通过其他列向量线性组合产生,也就是说这个列向量组里存在线性相关。那么就不能保证Ax=b 对于任意向量b\in R^{m}都存在解。
一个列向量线性相关的方阵被称为奇异的(singular)

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